吉尔伯特·斯特朗：线性代数、深度学习、教学与 MIT 公开课

2019 年，一位 84 岁的老教授录了一段线性代数课。这门课后来被几百万人看过，其中包括当时还在读本科的 Lex Fridman。画面里没有动画，也没有交互式课件，只有一块黑板、一支粗粉笔，和一个把矩阵讲得像故事一样的人。

这位教授叫 Gilbert Strang（吉尔伯特·斯特朗），MIT 数学系教授。他在访谈里说了一句挺实在的话：视频能火，功劳大部分在线性代数这门学科本身，过去几十年它的重要性暴涨了。数据来了，而数据天生就是矩阵的形状。

那门课的开头，是一块黑板和一支粗粉笔

Strang 提到自己只用一种粉笔，就是那种特别粗的、写在黑板上会发出明显声音的粉笔。他说别人喜欢，他自己也喜欢，别的粉笔他不用了。

这个细节其实说明了一些事情。18.06 这门课的录像就是课堂实况，没有重录，没有剪辑，没有为镜头重新设计板书。他在 2000 年前后录的，因为这门课他教过很多遍，结构已经理得很顺，讲起来自己也享受。

MIT 公开课（MIT OpenCourseWare）这件事的起源，他讲得很轻松。当时校长韦斯特（Charles Vest）任命了一个委员会，本来的任务是研究怎么把 MIT 的课程像其他大学那样包装、营销出去。委员会讨论了一个周末没找到路子，回来跟校长说：要不我们干脆全部免费送出去？校长说，行。

如果把大学看成一个生产产品的机构，知识就是它的产品。把产品免费送人，听起来是疯了。（Gilbert Strang）

但这个决定后来证明是对的。Strang 的解释是，MIT 的名声建立在硬核技术上，而公开课是展示「MIT 到底是什么样」最直接的方式。它跳过了宣传册和排名的套路，直接把课堂摆到全世界面前。

这里还有一层值得留意的差别。宣传册讲的是结论，课堂展示的是过程。一个人坐在屏幕前看斯特朗推着粉笔一步一步把矩阵拆开，学到的东西远不止知识点，还包括一个做数学的人怎样思考、在哪里停顿、什么时候说「这里其实很简单」。讲授本身的节奏，也是教学内容的一部分。

四个子空间：他这辈子最得意的一个教学设计

问到他最喜欢的教学内容，他挑的东西一点都不高深：四个基本子空间。

他特意说明，这个概念在他命名之前早就存在了，他只是把它组织成了一个好讲的框架。矩阵就是一堆排成矩形的数字，有若干列，也有若干行。列和行用的是同一批数字，所以它们之间必然有关系。但这种关系不简单：列可能比行多，数字被打乱了次序。

第一个空间是列空间。把矩阵的每一列看成一个向量，也就是高维空间里的一个点。把所有列的所有线性组合放在一起，会得到一个平坦的曲面。在三维里它就是一张纸，在十维里它依然是一张「纸」，只是没法画出来。

第二个空间是行空间，来自同一批数字，但组合的是行。

另外两个空间和它们垂直。三维空间里有一张平面，垂直于它的是一条直线。对应到矩阵上，就是零空间和左零空间。

四个空间拼在一起，构成了一个矩阵的完整结构图。Strang 说这个想法本身好懂，在 18.06 里出现得很早，但他自己挺骄傲，因为这张图能把一个矩阵的行为解释清楚。

这里有个更值得琢磨的点。他在课上会直接跟学生说，他自己脑子里也没有十维向量的箭头图像，谁都画不出来。可你不需要图像也能做运算：两组十个数可以相加，一组十个数可以乘以 3。会做这两件事，你就在十维空间里做线性代数了。

我没法说自己脑子里有画面。但我还是会把课堂往那个方向推，让他们去想十维空间里的一张平面。（Gilbert Strang）

这句话背后有一个反常识的推论：数学直觉未必是视觉性的。人可以在完全没有图像的情况下熟练操作高维对象，靠的是对规则的手感。画不出十维空间的箭头，跟做不了十维线性代数，是两回事。

为什么线性代数比微积分简单，却排在它后面教

Strang 有个说得挺直白的观点：线性代数本该先教。

理由是这样的。微积分所有的复杂性都来自曲线，来自弯曲的曲面。线性代数里一切都是平的，没有任何弯的东西。平的东西不会让你出错，从二维推到十维、一百维，一路顺下去。

但教学顺序是反的。牛顿和莱布尼茨先搞出了微积分，所以高中开 AP 微积分，大学一年级还是微积分。线性代数被排到后面，甚至很多工科生到大二大三才第一次正经接触。

他在访谈里说得更重一点：本科数学教育里，微积分占的课时和关注度是「不成比例的」，代价是代数和概率统计被压缩了。

他把今天的本科数学分成三块：微积分、线性代数与矩阵、概率与统计。三块都该有重要位置，但微积分长期拿走了最大的那份。

这个判断放在 2019 年说，是有现实依据的。数据以矩阵形式出现，而处理数据的方法几乎全部长在线性代数上。石油工程的模型、气候模型、医学试验、推荐系统，输入都是矩形数字阵列。反倒是微分方程那套语言，在数据科学里用得少。

他也没有主张把微积分赶出去，只是希望份额调一调。一门学科的教学时间分配，往往滞后于这门学科的实际使用方式几十年，调整起来比想象中慢。

奇异值：给数据科学家的一条实用建议

问到他觉得最美的概念，他先提了特征值，然后马上转向奇异值（singular values）。

原因很实在：特征值只对方阵有效，而真实数据几乎都是长方形的矩阵。一百个病人乘五十种药，这个矩阵不是方的，特征值用不上。奇异值可以。

奇异值的核心是一个分解定理：任何矩阵，不管是方的还是长的，都能写成三个简单矩阵的乘积，即旋转、拉伸、再旋转。

旋转好想象。二维空间绕着中心转，三维空间里飞行员要记三个转向轴，十维空间有十种转法，但「转」这件事本身你能看见。拉伸也好想象，就是沿某些方向拉长或压扁，其余方向全为零。

一个塞满数字、看不出规律的矩阵，被拆成「转、拉、转」之后，就变成了人脑能处理的东西。这是 Strang 觉得漂亮的地方。

他给数据科学家的建议很直接：把矩阵分解成若干部分，第一部分是最重要的信息，第二部分是第二重要的，往后排。很多情况下，找到前一两项就可以停了，剩下的部分是实验误差或者浮点舍入的噪声。

如果数据科学家能找到第一项和第二项，就在那里停下。剩下的数据大概率是舍入误差，或者是实验误差。（Gilbert Strang）

他还顺带说了句对数学系同行的抱怨：赶紧教奇异值，别只教特征值。这句话听着像玩笑，但指向的问题是真的。很多课程花大半学期讲特征值和特征向量，只因为它们在理论上更整齐，学生毕业之后拿到一张长方形的数据表，手上一件称手的工具都没有。

神经网络在他看来，是一堆折起来的平面

谈到深度学习，他没有绕开，直接给了定义。

你有一百万组输入和对应的正确输出，任务是找一条规则，把训练输入映射到已知输出，然后用这条规则去预测没见过的新输入。神经网络就是构造这条规则的一种结构。

线性代数在这里面占大头，但只有线性代数不够。矩阵只会画直线和平面，而数据不长这样。所以必须引入一点非线性。

他讲的这个非线性函数极其朴素：一条直线，到某个点折一下，换成另一个斜率。就是一个折线，一个「弯折」（fold）。

它只是把一条直线折了一下，但当你把这个折痕重复上百万次，你就得到了一个足够复杂、足够贴近真实的函数。（Gilbert Strang）

这个类比他很喜欢用：一栋造型极其复杂的房子，屋顶每个局部都是平的，但整体弯弯曲曲。工程界早就在用这个思路，叫有限元方法（finite element method）。设计桥梁、设计飞机、设计建筑，用的都是「分片平坦」作为可计算的近似。

所以神经网络的表达能力为什么强？因为折的次数足够多。这也是他理解的极限所在：过去人们以为限制在算力，算力不够就做不了更复杂的曲面。但算力一直在涨，这条线一直在往外推。

顺着这个思路还能往下走一步。如果神经网络本质上是一种分段线性的逼近器，那它的长处就落在连续、光滑、有局部规律的映射上。图像、语音、传感器读数，都是这种类型。至于那些需要严格逻辑推理、需要长链条符号操作的任务，分片平坦的近似能不能撑住，就是另一个问题了。这个判断在 2019 年说出来还是开放的，今天回头看，正好点在了要害上。

关于「能不能学到东西」这个前提

访谈里有一段讨论，值得单独拎出来。

Lex 问的是：这个世界在多大程度上可以被这种方式表达？

Strang 的回答把深度学习放回了科学史里。如果数据完全是随机数生成的，那就没有规则可学，因为压根没有规则。深度学习的成立前提是：数据里存在信号。

他把这件事和一个更古老的图景放在一起看。牛顿找到了力学定律，爱因斯坦往前走了一步，石油工程师知道油会怎样停留在地下盆地。这些人是在推导规则。而人工智能换了个做法：不去推导，让机器去搜索规则。

新的想法是让计算机自己去搜索规则，从前那套请牛顿、请爱因斯坦把规则想出来的路子，被绕过去了。这是又往前走了一步。（Gilbert Strang）

他的态度是谨慎乐观。随机性里面也有用处，随机初始化、随机梯度下降都用得上，但数据里得有基本的结构，得有信号。全是噪声，什么也学不出来。

这个判断听起来平常，但从一个教了一辈子线性代数的人嘴里说出来，分量不太一样。他见过太多矩阵，知道什么样的矩阵里有结构，什么样的没有。现代深度学习的成功，被他归到「碰巧撞上了有信号的数据」这个前提上，而非归到算法本身有多神奇。

他最喜欢的矩阵，和二阶导数有关

问他最喜欢的矩阵是哪个，他给出的答案是：对角线上全是 2，紧挨着上下两条对角线上全是 −1，其余位置全是 0。

这个矩阵看起来平平无奇，就是三条非零对角线。但它出现的地方出奇地多，工程里到处都是它。

它的意义在于：在离散世界里，它就是二阶导数的对应物。

一阶导数衡量变化有多快，二阶导数衡量变化本身变化有多快，也就是曲线弯得有多急。爱因斯坦的工作表明，理解空间必须用到二阶导数。

Strang 由此得出一个结论：二阶导数在微积分教学里该有更大的位置。而它对应的这个矩阵，在 Strang 眼里是「一切都会算得刚刚好」的那种优雅。

把一个连续对象换成离散版本，通常要付出代价，边缘会出问题，精度会掉。这个矩阵好就好在代价极小：它保持对称，保持正定，边界条件干净地落在两头。所以做数值计算的人一看到它就放心。

他不喜欢考试，也不装

有一段回答挺打动人的。他说自己算不上好老师，因为他不喜欢考试那一部分，出题、评分、给 A 还是 B，他做只是因为职责所在。

他会在开学第一节课跟学生说：我来这里是教你们数学的，不会给你们打分。他说学生多半不信，心里想的还是这位老师最后会给 A− 还是 B+。

我告诉全班，我在这儿是教你们数学的，不是来给你们评分的。但他们心里在想，他到底会给我 A− 还是 B+。（Gilbert Strang）

他把自己定位在「教」那一端，那是他觉得有意思的部分：第一次跟一个人讲清楚矩阵是什么。

Lex 追问：有没有那种时刻，你从学生的眼睛里看到他们被点亮了，不需要看成绩单？

他的回答落到了具体的地方。教大课时，他能感觉到全班什么时候真的懂了，那个时刻通常出现在讲完四个基本子空间、讲完线性代数基本定理那张关系图之后。他说，那时候他觉得课堂「接住了」。

反面他也提到了。有些学生会说「我就是不擅长数学」，然后放弃。他的看法是，这多半要归到过去的教学方式头上，把人劝退了，跟能力上限关系不大。

别被劝退。这门东西太好了，错过太可惜。（Gilbert Strang）

同一件事在两个方向上都成立。好的讲解能把人拉进来，坏的讲解能把人推出去，而后者造成的伤害往往被误认成天赋的差距。一个学生把「我不擅长数学」当成自我认知，可能只是因为某一年遇到了一位没耐心的人。

数学为什么让人安心

访谈里有一段特别日常的对话。Lex 问他数学给人带来的那种确定感从哪来，他讲了个小时候补牙的故事。

躺在牙医椅子上，他就开始算 2 的幂：2、4、8、16，一直算到脑子开始疼。牙医说，你在数数吧。

你知道自己在哪里。2 乘自己 10 次是 1024，这件事谁算都是这个结果。（Gilbert Strang）

他自称不是哲学家，也不装深沉。他说自己就是个喜欢数字的人。这种确定性给了他一种近乎安慰的东西。

这段对话里还有个问题挺有意思：数学是工具还是艺术？他的回答是两者都是，而这正是数学的好处。你可以是艺术家然后喜欢数学，也可以是工程师然后使用数学。

他自己站在中间偏工程那一侧，明确说自己不是艺术家型、哲学家型的人，虽然在访谈里听起来有点像。他真正享受的是教工程师，因为工程师要的是答案。

他还提了 MIT 数学系的一个现实：系里多数人更喜欢教那些能抓住抽象概念的学生，而他对「想找答案的工程师」更自在。这不是降低标准，是另一种诚实。工程师会逼着讲的人把每一步落到实处，讲不清楚就过不了关。

国会里几乎没有工程师，他觉得这是问题

话题转到了公共生活。Lex 提到当时的总统候选人杨安泽（Andrew Yang），口号是把 MATH 印在帽子上，Make America Think Harder。

Strang 顺着说了句：国会议员里几乎没有工程或科学背景的人，总统也不是。

我们需要对数字、对数量有感觉的人。你说这个导致那个，他们能看明白，这是无法否认的。（Gilbert Strang）

他自己有过一次近距离的经历。大约 2000 年前后，他担任美国工业与应用数学学会（SIAM）主席，被安排去众议院的一个委员会讲十分钟数学。那次经历让他觉得有趣的地方是：在座的一位议员，当年上过他的课，来自新罕布什尔州。

他也很清楚那只是短暂的一段。他说那几年数学在华盛顿还算有点存在感，后来别的事情占了上风，数学又不那么显眼了。而今天华盛顿关心的议题里有 AI，AI 的内核是数学，只是这层关系被藏起来了，像是换了一顶帽子。

这段闲聊其实连着前面的话题。一个社会对数学的耐心，和它在课堂里给线性代数多少时间，处在同一条链条上。教得少，懂的人就少；懂的人少，做决策的时候就没有人替数字说话。

他认同的那句话，来自费曼

访谈结尾，Lex 引了费曼的一句话作为收束：

拼命去学你最感兴趣的东西，用最不守规矩、最不恭敬、最有原创性的方式。（Richard Feynman）

这句话和 Strang 讲的东西其实对得上。他在访谈里反复讲同一个意思：数学之所以让人着迷，是因为那里有秩序，东西不明摆着，但它是真的。这种「不明摆着但确实为真」，正是让人愿意学下去的动力。

2019 年录下这段对话时，他 84 岁。他还在想新办法讲课，还在琢磨怎么把线性代数基本定理讲得更让人信服。他说这是乐趣所在：某个瞬间你会说，哦，这样行得通。

那门 2000 年录的课，至今还有人点开。它靠的是把一件本来可以对所有人敞开的东西，真的敞开了。制作上的精良在这里几乎可以忽略不计，一块黑板、一支粗粉笔，加上一个还想把话讲明白的人，就够了。

• 如果只打算学一门本科数学，从线性代数开始。它全是平的东西，从二维推到一百维不会翻车，而今天的绝大部分数据工作都建立在它上面。
• 学的时候别死磕几何直觉。十维空间的箭头你画不出来，教授也画不出来。会做两件事就够了：两组十个数相加，一组十个数乘 3。抽象运算不依赖图像。
• 如果接触数据，直接去学奇异值分解，别停在特征值。真实数据是长方形的，特征值只对方阵有效，这条工具你迟早要用上。
• 做数据清洗时先做一次分解，看前一两项能解释多少。剩下的部分如果很小，那就是噪声，砍掉它比建模更省事。
• 想理解神经网络为什么有效，别从反向传播公式入手。先想清楚一件事：把一条折线重复上百万次，能拟合出多复杂的形状。
• 如果你曾经断定自己「不擅长数学」，先怀疑一下过去那个教你的人。放弃通常是教学方式造成的，跟能力上限关系不大。
• 找一位还在享受自己讲的东西的老师。Strang 说的原话是，那种乐趣就在「哦，这样行得通」的那一刻。