# 乔·博勒：如何学数学 > 数学教育研究者反对死记硬背与天赋论，介绍如何通过多样化解题和出错来真正理解数学。 - 原标题：#226 – Jo Boaler: How to Learn Math - 期数：第 226 期 - 发布日期：2021-09-27 - 嘉宾 / 主题：乔·博勒：数学学习法 - 网页版：https://lexfridman-cn.pages.dev/ep/jo-boaler/ - 官方页面：https://lexfridman.com/jo-boaler/ - 精读字数：约 13055 字（阅读约 29 分钟） > 本文为 lex.qiaomu.ai 基于原始访谈的 AI 改写中文精读，非官方翻译；引用请注明出处并链接网页版。 一组研究者在高中英语课堂上做了个实验。所有学生都交了一篇作文，老师给每人写了诊断性反馈。一半学生的评语末尾，研究者偷偷多加了一句话。一年之后，读到这句话的学生，英语成绩显著高于另一半。 那句话是：**“我给你这个反馈，因为我相信你。”** 乔·博勒（Jo Boaler）常在教师培训上讲这个实验。她是斯坦福教育学院的数学教育教授，YouCubed 的联合创始人。讲完之后她会赶紧补一句：我不是建议你把这句话刻成章，盖在每个孩子的作业本底下。 但接着她讲了自己的故事。高中一年级，新来的数学老师第一节课上说，有问题随时问。她举手了。老师回了一句：“这就是你的问题？”她记得自己坐在哪，记得当时的光线。她说那绝对是她在那门课上问的最后一个问题。那位老师是数学教研组长。 一句随口的反问，和一句“我相信你”，在同一个行业里，都能管用很多年。 ## 任何一块干巴巴的数学，都能变成视觉问题 博勒对数学之美的定义，跟大多数人不太一样。她喜欢的恰恰是很多人不承认那是数学的那部分：可以换个角度看、可以画出来、可以有好几种解法的数学。 “很多人以为数学就是一个方法、一个答案。”她在访谈里说。她做的工作正相反，她和团队对老师讲：把你手上最枯燥最没劲的那块内容拿过来，我们把它变成一个视觉的、有意思的、开放的问题。结果发现，任何一块内容都能这么干。 她说这话时是认真的。她提到神经科学的一个发现：人在处理数学问题时，大脑里有五条不同的通路。世界上数学成就最高的那批人，特征体现在通路之间的连接数量上，单条通路发达与否反而说明不了什么。 这意味着什么？一个孩子用数字看一道题，是一条路；用图形看同一道题，第二条路就接上了；用文字把思路写下来，第三条；用积木或者纸笔搭出来，第四条。她管这个叫“数学的多维度体验”。连接越多的脑子，越是这么长出来的。 顺带说一个流行说法的坑。学校里常讲“你是视觉型学习者，他不是”，然后给前者配图，给后者讲公式。博勒说这套说法在神经科学上站不住：**如果你认为自己不是视觉型学习者，你反而更需要视觉化的方法**，因为那块脑区正等着被开发。 物理学家在这件事上早就走在前头。爱因斯坦想问题离不开图像，他讲相对论的时候脑子里是一列火车。费曼也是从直觉出发，先感觉“应该是这么回事”，再去做实验、写方程。博勒提到塞巴斯蒂安·特龙（Sebastian Thrun）跟她讲过的一段经历：给史密森尼学会做机器人，机器人在白噪音上出了问题，特龙凭直觉就知道问题出在哪，但把它写成严格的数学证明，花了三个星期。 直觉先到，证明后到，中间隔三周。这个时间差本身就说明，直觉和形式化是两套系统，学校里只训练后一套。 还有一件被忽略的工具：颜色。把一个代数表达式里的 x 标成红色，后面所有出现 x 的地方也用红色写，孩子一眼就能看见对应关系。这种编码看着微不足道，博勒说，很多小学老师在她的工作坊里看到这个，当场就哭了。教了半辈子数学，第一次意识到原来可以这样看。 ## 挣扎的时候，大脑正在长东西，但前提是你相信自己能长 这里有个容易走偏的地方。既然挣扎是好事，那是不是应该让孩子多受苦？ 博勒的答案是：**挣扎本身是好时机，前提是挣扎的人相信自己最终能出来**。 教育系统里最有害的一个观念，是“数学脑”的说法。你要么天生带着这块脑，要么没有。一个孩子在五年级第一次卡住的时候，如果脑子里响起的是“果然我没有数学脑”，那他接下来做的事就是关掉。大脑真的会关掉，成绩从这里开始往下滑。此后的挣扎变成了痛苦的自我确认，生长停在了那一步。 “我们可以挣扎，是因为我们知道自己能到那里。”她说这句的时候，把因果顺序讲得很清楚：先有信念，挣扎才有意义。 聊到这儿，Lex 讲了自己在苏联长大的经历。数学是被强制灌进来的，他是被强制着爱上数学的。苏联体系里有两点让他印象很深。 第一是**对卓越的推崇**。成功的定义是“你在那个班、你在这件事上真的强”，跟“你比昨天进步了”是两回事。这跟美国对体育的态度一样：你要么是首发，要么不是。第二是那个信念：**每个人都有能力达到卓越，如果你没达到，那是你不够努力**。 博勒对这套东西的态度很微妙。她认为美国的问题恰恰相反：卓越重要，但孩子在很早的时候就被分成了“能做的”和“做不了的”，后面那批人干脆不努力了，因为努力也没用。如果能把“你可以通过努力到达”这个信念装进去，改变是巨大的。 但这个信念有个副作用，她也直接说了：如果没到达就是你的错，那些没到达的人会背上不该背的东西。她要在这个信念上加一个条件，**任何人都有可能到达，但他需要努力，也需要好的教学**。有一大批人并非不行，他们从头到尾没遇到过一个能把这件事讲明白的老师。 至于“多学数学”这件事，她的态度是有条件的赞成。如果数学是有趣的、开放的、多维度的，那多学当然好。她和团队在斯坦福办夏令营，课排三个小时。备课时老师们担心：三个小时，孩子坐得住吗？结果是**孩子不肯去休息，也不肯去吃午饭**，因为正卡在那些图形规律里，停不下来。 什么时候的孩子最容易放弃？博勒给了一个具体的时间点：**大约从五年级开始，初中那几年最关键**。 原因有点讽刺。小学低年级是允许孩子探索和乱想的，到了五年级，老师开始说“我们要为初中做准备了”，然后开始打分、开始密集测验。孩子的自我评价就是从这个节点开始崩的。初中三年，一大批人正在做决定：STEM 这条路我继续走，还是到此为止。 她说每一年都重要，每一年都能把孩子掰回另一条路上。但那几年，杠杆最长。 ## 老师不需要事先知道谁会优秀 回到开头那个实验。博勒在教师培训上讲完之后，有位老师说：那我们不能把它做成一个印章吗？她的回答是：我建议不要。 理由跟这句话有没有用无关。这句话的力量来自它是具体的、专门写给这个人的。变成印章，它就变成了墙上的标语。 真正起作用的，是孩子坐在教室里一直在想的那个问题：**我的老师觉得我能做到吗**。这个问题他们不会问出口，但他们一直在收集证据。所以老师要说出来，而且要真的相信。嘴上说说，孩子听得出来。 Lex 在这里插了一段自省，说得挺实在。他说自己是个极端的完美主义者，对自己极其苛刻。有学生过来问问题，他清楚这孩子离“好”还差得远，心里那个念头会冒出来：算了吧。但他也知道，历史上很多了不起的人，某个阶段都很烂，有些人烂到了很晚。所以他必须一直相信这个人可以变得很厉害，同时把“你得下功夫”这句话也说出去。 博勒接过话头，说到硅谷。她住的地方塞满了学校的退学生、被判定有特殊需求的孩子、没在体系里成功过的人，而这批人后来做出了很了不起的事。她对这个现象的解释很直接：**学校系统擅长筛选记性好、能复现老师演示的学生，同时把想得慢、想得深的创造性思考者推出去**。后者在很早的时候就接收到了“你不行”的信号。 那老师要不要专门去关注那些眼睛发亮的学生？博勒说，重点在老师能不能接住那一刻，提前预测谁会成为那个学生是做不到的。因为**老师在发下任务之前，根本不可能知道谁会发光**。 她讲了个夏令营的片段。孩子们在算不同尺寸正方形的边框要多少块。下课时一个男孩走过来说：我一直在想，如果换成五边形会怎么样。她说，太好了，五边形会是什么样？你去把它找出来。她说自己完全没预料到会有这个提问，也没在心里给这个孩子预留过拓展任务。但事情发生的时候，她能接住。 接住的方式还不止一种。Lex 说自己吃的是反向那一套：你告诉我“这个你肯定做不到”，我立刻就来劲了。但对另一个孩子，同样一句话可能直接把人打垮。博勒同意，这也正是教学难的地方，同一个动作对不同的人效果相反。 还有一位数学家的故事，博勒讲得很动情。玛丽亚姆·米尔扎哈尼（Maryam Mirzakhani），伊朗长大，世界上第一位拿到菲尔兹奖的女性，在斯坦福任教，40 岁去世。她的工作几乎全是视觉的，她女儿一度以为妈妈是艺术家。博勒曾被邀请主持她一位学生的博士答辩，两个小时的展示，她回忆说自己一个数字都没看到。 她当时想的是：我应该带一个 13 岁的孩子来听这场答辩，那孩子根本不会承认这是数学。 而米尔扎哈尼 13 岁的时候，被老师告知她数学不行。 ## 孩子平均两分钟就放弃一道题 从学生自己的角度看，最该改的习惯是什么？ 博勒给的第一条很具体：**别用重读的方式复习**。翻开老师的讲解或者例题，看一遍，感觉懂了，合上书走人。问题在于那个“懂了”是假的。真正理解与否，要等你动手做一道题的时候才会暴露。 她引用神经科学的建议：不断给自己出题。测试比阅读有效得多，因为测试能告诉你，哪些你是真会，哪些你只是看着眼熟。 第二条是关于作业的形态。她建议不要让孩子回家做二十道题，而是让他回答几个问题：今天学的那个大想法是什么？哪一部分你觉得难？你在哪里卡住了？什么地方让你觉得有意思？ 这个建议背后有个现象很多人有共鸣。孩子一路做题，全对，做了好多年，但你问他这门课到底在讲什么、学了有什么用，他答不上来。题目做对了，主题没进去。 Lex 把这个思路往大处推了一层。人这一辈子很少问那个“为什么”，而小孩在很小的时候天天问，长大后就不问了。有组数据博勒提到过，孩子在学校里提问的数量，从低年级开始基本是一条向下的直线。低年级你拦都拦不住，后来他们学会了不问。 但“为什么是这样”通常是有答案的，而且答案往往不坏：这么做是因为在这个条件下它成立。真正值钱的一刻，是你问完之后发现答案是“因为历史上就是这么定的，其实有更好的办法”。发明就是从这儿开始的。这套思维方式不只用于数学，选职业、选城市、选跟谁过一辈子，都是同一套。 第三件事是深度。Lex 提到卡尔·纽波特（Cal Newport）的《深度工作》，问博勒怎么看专注力这件事。 她的做法是给一个真正够深的问题，然后不打扰。她给老师做培训时常这么干：给你们一小时，一小时后我回来看看。老师们的反应是“一小时？”然后他们开始做，一小时后她回去问怎么样，回答是“一小时过去了？怎么可能”。 她在斯坦福给本科生上的一门课，每一节都在做这种题。学生最后的反馈是：我不想回到以前那种数学关系里了，那种只追求快速给出答案的关系。 这里有个数字值得停一下。**有调查问学校里的孩子：一道数学题你会想多久才放弃，判定它做不出来？全样本的平均值是两分钟。** 两分钟。这个数字说明的是他们从没被允许在一道题上待够，跟聪明不聪明没关系。专注本身是块肌肉，五分钟、十分钟、三十分钟、一小时，是可以练出来的。没练过的人，坐十分钟都难受。而在数学这类科目上，不到那个深度，就摸不到解题真正让人上瘾的那一下。 Lex 提到格兰特·桑德森（Grant Sanderson），也就是 3Blue1Brown。博勒说自己很喜欢他的东西，还开玩笑说应该跟他合作，她出视觉素材，他做成那种惊艳的动画。 桑德森的路子是用程序生成动画，把数学概念变成看得见的过程，再配上叙事：先给一个小例子，然后不声不响地拐一个弯，出现一个意外。博勒评价说，这套东西会让人爱上那个概念。 桑德森自己说过，他不认为自己在教完整课程，他更像一个点火的人。博勒同意这个定位，也不可能要求他把整个课表都做成那种质量。 但有个细节值得说：他把做动画的库 Manim 开源了，用 Python 写，能动画演示方程和图形。代码本身文档不算完善，但它放出去之后，冒出了一大批人用它做数学视频。这些人大多没有百万订阅，一个视频几百次播放，但 Lex 说，从这些人的角度，做那个视频的过程本身就是一次改造。**教是最好的学，这是费曼那套东西。** ## 三年级的 60 条标准，把一张地图剪成了碎片 那教学层面能改什么？博勒手上有具体的活。 她是加州新数学框架的五位撰写者之一。这个框架的核心主张叫“教大想法”（teaching to big ideas）。 她解释了现行标准的问题。以三年级为例，光“单位正方形”这一个概念，就有三条不同的标准。其中一条的原文是：边长为 1 个单位的正方形，称为单位正方形，其面积为 1 平方单位，可用于测量面积。教材编者拿到这条标准，就围绕它编一堆窄题，然后用学生能不能答对这些题来衡量教学成败。 她的比喻是：数学本来是一张想法和想法之间连接的地图，标准把这张地图剪成很多小片，一片一片发给学校。**老师看不到片与片之间的连接，学生更看不到。** 加州这个新框架做的事，是把 K 到 10 年级的整个数学拆成一组大想法和它们之间的连接。三年级不再是 60 条标准，而是若干个能彼此打通的大概念：测量、分数、形状、时间，以及它们怎么连起来。 对老师的实操意义是这样：一位老师发现这学期的大想法是“测量”，他不再去读五条关于测量的程序性陈述，而是问自己，有什么又深又有意思的活动，能让孩子真的在做测量的过程中把这件事吃透。孩子在这类活动里做上几天，会顺带撞上很多别的数学。 评价怎么办？博勒的态度很明确：**她不喜欢评分和频繁测验**。 分数放在课程结束时是合理的，那本来就是终结性测量的用途。问题出在美国的数学课堂把评分变成了日常动作，每周、甚至每天。她讲自己孩子上高中的经历，技术让这件事变得更糟：所有作业都被打分，分数实时显示在在线成绩册里，孩子们随时能查，然后带着那个数字走进下一节课。 她管这个叫表演文化。你在那儿表演，有人在测量你，你随时能看到自己的分数。这种环境下深度学习很难发生。 替代方案是量规（rubric）。一个单元开始时把这份量规给孩子，让他看见这几周要走的路，看见什么叫做得好。中途让学生自评，老师在上面写具体的备注：接下来几周你可以试着学这个。孩子脑子里转的就不再是“我是个 A 学生还是 B 学生”，而是“我在数学上走到哪儿了”。学年结束给一个分数没问题，过程中给的是信息。 Lex 在这里补了一个自己的经验。他说自己上过的最好的课，是教授看出来他对某个特定方向有兴趣，然后专门给了他一点额外的东西。其中一位用的是激将法：我不觉得你能做成这个。他就把全部力气砸进去做成了。 他说这类“特别对待”很珍贵，但也承认这对老师要求太高，一个班那么多学生，不可能都盯住。博勒的回应把这件事拉回了可操作的层面：孩子表现出兴趣的那一刻，只要能被接住并往前推一把，就够了。谁会成为那个孩子，事先看不出来。 ## 七个点，十八种看法 博勒第一次见一群学生会做一件事，她建议所有数学老师都试试。 她放一张图，上面七个点，摆成一个特定形状。只放几秒，然后收走。她的指令是：告诉我这里有几个点，但不许一个一个数，我要看你是怎么把它们分组的。 几秒钟不够数完，所以孩子只能靠一眼看出的结构。收走图之后她挨个问：你是怎么看的？ 一个 30 人的班，能出大概 18 种看法。有人看成一个外圈加中心一点，有人看成几条线，有人看成分段的块。她把这些全写在黑板上，最后说：我们班 30 个人，用 18 种方式看了这七个点。 这个能力有专门的名字，叫 groupitizing，可以译成“群组化”。而研究发现，**一个孩子群组化的水平，能预测他后续的数学表现**。 这句话的分量在于对比。现行的做法是用限时口算测验来判断一个孩子数学好不好，而博勒的意思是：让他看一眼七个点、说说怎么分的，可能是更有信息量的评估。 这个能力可以练出来，并非生下来就有。从幼儿园到博士生都玩得起来。 这堂课真正在传递的东西，是那七个点之外的另一个信息：**在这个教室里，你怎么看这道题是被当回事的**。 顺着这个往下，就是创造力和灵活性。博勒说 21 世纪真正需要的是一个灵活的脑子，学校该教的是面对问题时能换角度的那种能力，而不是某个特定方法。她提到一本书叫《Elastic》，讲的是弹性思维，跟她的主张是一回事。 学校的现状是反过来的：大量时间花在记忆和按步骤执行上，而这些恰恰是计算机现在做得比人好的事。真正属于人的那块，创造性、灵活的组合、跨界的联想，计算机才刚起步。人脑天生擅长这个，学校却在削弱它。 还有一个被低估的维度：协作。 2019 年，博勒在斯坦福教一门 100 人的微积分课。这些学生进校时基本都反感在数学课上合作。他们过去只有两种经验：一个人做题，或者小组作业里一个人干了全部。所以他们不觉得合作跟数学有什么关系。 而且他们身上带着很强的社会比较：我坐在这间教室里，旁边的人比我强，比我快，他想到了我没想到的。 博勒的团队花了四周训练他们放下这套东西。前后测的设计很有意思：不给限时独立测验，而是给一道应用题，让学生两人一组做，每人一支不同颜色的笔，全程不换笔。 第一轮收上来的纸，一眼就能看出来：红笔写一块，绿笔写另一块，两个人各写各的，问题也没做好。那道题其实初高中生都能上手。 四周之后再给同一道题，同样的规则。这一次他们真的在合作，而合作的那几组成绩更好。学生后来写的反馈里反复出现一句：我学会了重视别人对同一道题的想法。 Lex 在这里讲了丹尼尔·卡尼曼（Daniel Kahneman）。他第一次跟卡尼曼面对面交流，对方对他研究的自动驾驶几乎一无所知，但一直在问，问得非常具体，纯粹的好奇。十分钟后，两个人已经在共同琢磨这个问题了。他说那一刻他意识到，**协作是一项技能，前提是你得把自己的 ego 和自己的世界观先放下**，真的去学对方怎么看这件事。 博勒补了另一半：还有社会比较要放下。如果你坐在那儿想“这个想法太棒了，他比我强太多”，那个想法本身的价值就被这个念头盖住了。斯坦福那批学生一开始卡的就是这一关。 Lex 还讲了一个他自己的观察。稍微有点名气之后他发现，公开为别人叫好，回报远比想象中大。反过来，那种“我要让周围这一小圈人知道我最聪明，办法是不承认别人聪明”的做法，短期看着划算，长期是亏的。这套东西如果从学生时代就开始练，一直练到职场，收益是复利的。 ## 母亲说“我数学也不好”，女儿的成绩会下降 家长该怎么办？博勒说这是另一个难题。 有研究显示，**父母的数学焦虑能预测孩子的数学成绩，但只在一个条件下成立：父母辅导作业的时候**。不辅导，这个传递就断了。 机制不难想。一个自己怕数学的家长，坐在孩子旁边辅导，嘴上说着“我上学的时候这个也烂透了”。这句话传过去的东西，比任何一道题的解法都深。 更具体的一项研究：母亲对女儿说“我上学的时候数学不好”，女儿的成绩会往下走。 所以她的建议干脆得有点好笑：如果你跟数学的关系很糟，那就别陪孩子做数学作业。以及，**在孩子面前假装喜欢数学**。哪怕你恨它，也要装出乐在其中的样子。 YouCubed 上有一份给家长的说明，讲怎么跟孩子围绕数学互动。 至于“孩子会不会超过我”这种心态，博勒说自己没怎么见过家长在这一点上别扭。她见得多的是另一种：家长自己跟数学关系很差，不知道怎么帮，干脆躲开。而躲开的代价，孩子是能感觉到的。 她还提了一句，连斯坦福的本科生都是这样。这些人在数学上一直成绩很好，但进了大学还认为数学就是一堆要背下来的方法，背完再复现。**如果没有亲身经历过另一种数学，人是很难把孩子往另一个方向带的**，因为在他们眼里，数学就长那样。 顺便说个轻松的。Lex 问她，为什么英国人管数学叫 maths，是复数？ 她的回答很符合她一贯的主张：mathematics 本来的意思就是那些数学，几何、概率、各种分支，本来就是多维的、多条的。缩写成 maths 保留了这个复数感。美式英语缩成 math，变成单数，感觉就不一样了。美国还有句常用语叫“do the math”，意思是算一下数。她说自己不喜欢这个说法，因为数学远不只是计算。 ## 数据科学挤进高中课表，因为它塞不进任何一门学科 那整个系统会怎么变？ 博勒是乐观的，但她也承认教育系统变化极慢，慢到显微镜级别。不过她确实看到变化正在发生，而且有个具体的例子。 数据科学现在可以作为高中课程，替代代数二。 这件事的意义在于时间尺度。她说，美国高中数学的内容框架是 1892 年定下来的，此后基本没动过。一百三十年后，课表上终于多了一门新东西。 它是怎么挤进去的？2014 年有人给高中生开发了一门数据科学课。第一批孩子上完之后没出什么事，照样上了大学，接受度慢慢起来。真正的转折点在加州：加州大学系统给五万所高中发了一封邮件，说我们承认数据科学，学生可以用它替代代数二，这是一条完全正当的升学路径。 对很多还在观望的学校，这封邮件就是绿灯。博勒说，她上次看的时候有 12 个州允许数据科学作为高中课程，她估计第二年这个数字会翻倍。 路径很清晰：先在边缘长出来，有人验证，然后一个权威机构盖章，接着扩散。 数据科学能挤进来，还有个更微妙的原因：**它不属于任何一门现有学科**。它不完全算数学，也不完全算计算机，也不完全算统计。它一进来，就逼着人问：这门课归谁教，放在哪个系。学科边界这件事本身开始被质疑。 博勒对一百年后的想象是这样的：学科边界可能没有了，因为它们本来就不太说得通。编程会像读写一样，融进所有事情里，孩子在学的过程中就在创造、在查、在做。现在这套学校体系常被叫做工厂模式，它的设计目标里从来没有“激发创造力”这一项。她说后人回头看今天，可能会觉得挺好笑。 她还留了一点自嘲。她自己也没预料到数据科学能这么快落地。 最后说说 YouCubed。这个网站大约五年前上线，到现在累计访客超过 5200 万。 它存在的原因很具体。学术界关于怎么教数学其实知道很多，论文、期刊、研究一大堆。但老师不读这些，读不到，很多卡在付费墙后面，写法也让人读不下去。**一整个行业在花钱研究怎么教得好，然后不告诉真正在教的人。** 所以她的做法是把论文翻译成可用的东西：把研究结论变成老师明天就能用的课、给孩子看的视频、给家长的建议。 他们受“编程一小时”启发，做了“数学灵感周”（Week of Inspirational Maths）：别的不说，先试一周，看看会发生什么。这个东西被下载了几百万次，很多老师每年开学第一周就用它。老师反馈说，那一周孩子的眼睛是亮的，特别兴奋。然后一周结束，翻开教材，灯灭了。 这个反馈很扎心，也很真实。博勒说，她真正想做的是把那一周延长成整年，但团队太小，做不出覆盖每个年级每一天的创造性任务。 后来他们真的做了一部分：用五年时间，做完了 K 到 8 年级的全套数学书，按大想法组织，配丰富的活动和视觉。她说做完的时候，人已经累垮了。 ## 教材像圣经，每天翻到 2.3.2 那一节 聊到教材，两个人的态度很有意思。Lex 是真心喜欢纸质教科书的，他形容那东西有漂亮的图、气味好闻、翻开的手感也好。他说高中那几年可能是他学习生涯里最快乐的日子，物理、化学、生物、微积分、解剖、莎士比亚，全都过一遍，没有人逼你决定这辈子干什么。 博勒没有反驳这个体验，但她给出了另一面的画面。 YouCubed 网站上有一段视频，拍的是来参加夏令营的孩子。其中一个学生说：上数学课你得跟着教材走，教材就像圣经，你必须跟着。周一做 2.3.2，周二做 2.3.3，周三接着往下，永远不能偏离。 她说这些孩子最喜欢夏令营的一点，是这里没有书。虽然发的也是一张张纸，但他们感觉自由，因为不用一节一节地刷练习。 Lex 替教材说了句公道话：那种 2.3、2.3 的结构其实给了人进度感，一道题看着难，试了又试，突然通了，往前挪一格，一章结束有个交代，翻到下一章。这种小型的成就感是真实的。 博勒接受了这个说法，但她把问题挪了个位置：教材能不能给人好体验，取决于里面装了什么，跟有没有教材关系不大。 她还提了一个美国特有的现象。她自己在英国长大，英国数学不分代数和几何，据她所知，全世界大概只有美国这么分。看着孩子们整整一年只学代数，她的评价是：换成我，我会相当无聊。 这个观察跟前面说的“多维度”其实是一件事。把数学切成代数、几何、统计，切成 2.3.2 和 2.3.3，都是在把那张连接的地图剪碎。碎片好管理、好考核、好排课，但学的人看不到全图。 ## 在线课真正管用的地方，是让人动起来 博勒跟在线教育的缘分，起点是塞巴斯蒂安·特龙。她看着特龙放出第一门 MOOC，觉得自己也可以做一门数学教育的课。 第一年夏天上线，免费，**三万名数学老师来上**。他们在课上互相讨论、互相转发，事情就这么起来了。后来正是这门课催生了 YouCubed，因为学员上完之后一直在问：接下来呢，还有什么。 她对 MOOC 的评价是分层的。把好老师放到网上，让全世界的人都能接触，这本身是好事。但她不认为 MOOC 实现了早期宣称的教育民主化。数据显示，来上 MOOC 的人往往本来就是条件更好的那批人。所以那个最初的兴奋，有一部分落空了，还有很长的路要走。 她更在意的是教学方法。大量 MOOC 就是一个对着镜头讲话的人，这不算好的教学。她从 Udacity 学到一条硬规则：**连续讲授不要超过五分钟，然后必须让人做点什么**。 她的在线课就是按这个节奏搭的：讲一小段，给点视觉的东西，然后弹出一个问题让人答。理由很朴素，半小时的视频，人看着看着就开始干别的了。 她还有一门给孩子的小课，叫《如何学数学》（How to Learn Math）。六节课，每节十五分钟。内容是展示数学作为视觉的、创造性的学科，加上一些思维模式和脑科学的常识。 这门课做过随机对照试验。实验组是上了课的中学生，对照组是没上课、但由同一批老师教的中学生，老师这个变量被控制住了。结果是：**上了课的孩子，在数学课上的投入度高出 68%，学年末的成绩也更好**。 十五分钟乘以六，总共不到两个小时。它改变了一批孩子跟数学的关系。博勒用这个例子说明，教育系统里有些改动并不需要动大手术。 ## 把孩子问问题的数量画成一条线 有个数据博勒说她每次想起来都觉得难过。**孩子在学校里提问的数量，从入学开始基本是一条持续下降的直线**。低年级的时候你拦不住他们问，后来他们学会了不问。 这条线跟前面那条“大约两分钟就放弃一道题”的线，其实是同一条线的两个断面。提问是不确定的开始，是承认自己不知道。在一个答案被反复打分、错一次就掉一分的环境里，不问是理性的。 所以她做教师培训时会强调一件很具体的事：孩子提问的时候，要把它当回事。YouCubed 的做法是把孩子的问题写在纸上贴到墙上，公开庆祝。 她讲完自己高中那次经历之后，Lex 问了句：那位老师后来知道自己造成了什么影响吗？ 博勒的猜测很宽容，她说那位老师大概率完全没意识到。一个糟糕的瞬间，可能只是他那天心情不好，随口一句。而对面的那个十七岁的人，把这句话记住了几十年。她说这也是教学这份工作难的地方，你的语气本身就带着分量。 反面也有。她提到自己有一位叫马歇尔（Mrs. Marshall）的老师，是她的 A-level 数学老师。英国的模式是十六岁以前什么都学，之后选三到四门专攻，深度大概相当于美国硕士阶段的专业化程度。 马歇尔做的改变只有一件事：**她给题目，然后让学生互相讨论**。 博勒说自己十七岁那年坐在那儿，跟朋友一起想办法解一道题，就这样。她开始听到别人怎么想、怎么看，几个人凑出一个解法。她说就是那一下，数学在她眼里变了。 她特别强调，这跟马歇尔对她个人的关照无关，两人之间没有任何私下的鼓励谈话。起作用的是这位老师设计的那种协作体验。**老师改变一个孩子跟数学的关系，有时候什么都不用说，只需要换一种上课的方式。** 一个老师毁掉一个学生的提问习惯，另一个老师换来一个学生一生的数学关系。同一个行业，同样四十五分钟一节课。 ## 你身边的人，会决定你相信自己能做什么 访谈快结束的时候，Lex 问她，对年轻人有什么建议。 博勒先自嘲了一句，说接下来的话听起来会很像鸡汤：**永远相信自己，知道自己能够达成**。 然后她解释为什么这句话值得说。因为这个道理听着像废话，但现实是数以百万计的孩子在学校系统里被反复告知自己不行。成年人也一样，他们选择某个职业的理由往往是“另外那些事我肯定做不好”。所以当有人对他们说“也许你可以试试那些”的时候，很多成年人的第一反应是：说不定真可以。然后他们回去重新学，换掉职业，事情真的发生了。 她提到科学家一直在找学习的上限。找来找去，找不到。人可以一直往前推，再往前推。这个结论对那些出生时部分脑区功能不全、被归为“特殊需求”的孩子同样成立，其中一些人后来做成的事一样惊人。 她说，希望所有人都能真正体验到那种感觉。**这话得真的知道，停在嘴上承认是不够的。** Lex 在这里补了一层，说得挺狠。他说这个道理在成功之后同样适用，甚至更难。因为爱你的人会一直庆祝你已经取得的成功，他们希望你继续做那件你已经被证明擅长的事，而不是支持你去做心里真正想做的、风险更大的事。 他讲了自己最近才真正意识到的一件事，说有点惭愧：年轻的时候，主动去找导师、去找那些会相信你的人、把自己放进这样的圈子里，这件事的价值被严重低估了。 很多人以为读研就是“落到”一个导师手里，选导师主要看研究方向。但真正决定一个人生命轨迹的，是他长期泡在谁中间。所以要主动挑那些相信你的人，也要远离那些不相信你的人。 有时候这道坎来自父母。父母可以深爱你，同时在你身上设下一些限制性的信念，用的还是他们自己的经验。博勒接过这句话，说得更直接：如果你对数学有兴趣，而你父母对数学没什么兴趣，那在这一件事上，别听他们的。 她提到自己写《Limitless Mind》时采访过不少人，这些人小时候被父母或老师告知“你学不了数学”。幸运的是，他们在人生的某个节点遇到了别的说法，然后发现一整片数学思维的世界对自己是开着的。**找到那些相信你的人，哪怕很难找，也要找。** Lex 在这里说了一句总结性的话：一个人身边站着谁，基本就决定了他会相信自己能做什么。 ## 关于未来，她保留了乐观 最后一个问题：五十年、一百年之后的教育该是什么样子？ 博勒说她有希望。教育系统的变化通常慢到显微镜级别，但她确实看见事情在动。数据科学进高中课表就是一个信号，一门 1892 年定下来的课程体系，居然真的被撬开了一条缝。 她的想象是：也许学科边界会消失，因为那些边界本来就不太说得通。编程这类工具会深度嵌进所有事情里。孩子们在学的过程中就在创造、在查证、在做东西。 她现在这套学校体系常被叫做工厂模式，那套设计里从来没有“激发创造力”这一项。她说，后人回头看今天，可能会觉得挺好笑。 访谈的结尾，Lex 念了一句爱因斯坦的话作为收束：**纯数学是逻辑思想的诗**。 这句话放在整场对话的最后，位置挺合适。博勒花了一辈子做的事，就是把这句诗从论文和标准文件里捞出来，翻译成七个小点、一支彩笔、一道能让孩子坐上一小时的题、一句写在作业本底下的“我相信你”。 她做的事情不宏大。她没在重构整个教育系统，她在给老师发能明天就用的课，在给家长写一页说明，在告诉一个十七岁的女孩“你怎么看这道题很重要”。但这些东西的连接处，恰恰是那个 1892 年至今没怎么动过的地方。 顺带说一个细节。她那门给孩子的小课只有六节、每节十五分钟，总共不到两小时，却把学生的课堂投入度提了 68%。这个数字放在教育改革的大叙事里显得太轻，轻到不像能撬动什么。可它说明了一件事：改变一个孩子跟数学的关系，需要的剂量可能远比我们以为的小。真正稀缺的，是有人愿意把那十五分钟做得足够好。 她自己也是这么过来的。十七岁那年，马歇尔老师没跟她说任何一句鼓励的话，只是把题目发下去，让她跟朋友一起想。就这样。 ## 可以立刻做的几件事 这期对话信息密度很高，落到具体动作上，不同角色都有明确可执行的事。 - **把复习方式换掉**：别再靠重读讲解和例题。合上书，给自己出题，让漏洞自己暴露出来。看着眼熟的那个“懂了”是假的，动手做一遍才知道。 - **测一下自己的放弃阈值**：拿一道真正难的题，计时，看你能撑多久。调查的平均值是两分钟。把专注当肌肉练，五分钟、十分钟、三十分钟、一小时，这个长度是可以长出来的。 - **如果你是老师**：每周至少留一次一小时不被打断的深度解题时间，哪怕只占一节课。给学生一道够深的问题，然后闭嘴。 - **如果你想鼓励一个学生**：别做成印章，别做成墙上的标语。针对这个人、这件事，说具体的话，说“我给你这个反馈，因为我相信你能做到”，并且真的相信。孩子一直在收集证据，装不出来。 - **如果你是家长**：如果你跟数学的关系很糟，就别陪写数学作业。在孩子面前，装也要装出喜欢的样子。开口说“我上学时数学也不好”之前，先想想那两项研究。 - **练一次群组化**：七个点摆成图形，看一眼就收走，问自己是怎么分组的。换个摆法再来。这个练习从五岁到博士都管用，而且它能预测数学表现。 - **把学到的讲出去**：写一个可视化的小程序、录一段讲解、给同学讲一遍，都算。桑德森开源的 Python 动画库 Manim 就是干这个用的。自己动手做一版，往往比再看十遍视频管用。 - **挑你身边的人**：主动去找那些相信你能做成事的人，靠近他们。同时把那些反复告诉你“你不行”的声音调小，哪怕那声音来自最爱你的人。 最后一句留给那位差点被一句反问关上门的十七岁女孩。她后来成了斯坦福的教授，靠一件事改变了成千上万个老师和学生跟数学的关系：把题目发下去，然后让孩子们互相讨论。 这件事没有门槛。任何一个教室里，明天就能做。