# 格兰特·桑德森：3Blue1Brown 与数学之美 > 3Blue1Brown 创作者谈如何用动画讲解数学，让抽象概念变得直观且富有感染力。 - 原标题：Grant Sanderson: 3Blue1Brown and the Beauty of Mathematics - 期数：特别节目 - 发布日期：2020-01-07 - 嘉宾 / 主题：格兰特·桑德森 - 网页版：https://lexfridman-cn.pages.dev/ep/grant-sanderson/ - 官方页面：https://lexfridman.com/grant-sanderson/ - 精读字数：约 10202 字（阅读约 23 分钟） > 本文为 lex.qiaomu.ai 基于原始访谈的 AI 改写中文精读，非官方翻译；引用请注明出处并链接网页版。 如果宇宙中存在其他智慧生命，他们会发展出和我们一样的数学吗？ Grant Sanderson（格兰特·桑德森）给的答案很干脆：大概率非常不同。 他是 YouTube 频道 3Blue1Brown 的创作者，用程序化动画讲线性代数、微积分和数学里那些说不清道不明的东西。在这场对话里，他从外星人一路聊到欧拉公式为什么被高估，从模拟宇宙聊到无穷大为什么没那么可怕，中间还承认自己做的视频其实并不能让人真正学会数学。 ## 外星人会有自然数，但未必会有 e 的 x 次方 Grant 认为有些东西是全宇宙通用的：一、二、三，自然数。理由很简单，只要你会数数，你就有了“重复”这个概念，你可以数两次、三次，重复数数的动作自然就带来了加法和乘法。这部分他觉得没什么可争议的，甚至连“自然数”这个名字本身就说明了问题。 真正有选择空间的地方在后面。我们怎么把数从自然数扩展到实数，这一步就带着人为痕迹。他提到一个很少被提起的例子：超现实数（surreal numbers）。这是另一套数系，同样能捕捉连续性的概念，同样可以当作建模行星运动的数学底座。你换一套后端，前端看到的物理定律可以完全一样。 换句话说，**数学的“接口”可能是共通的，但“实现”未必只有一种**。Grant 好奇的是，我们目前从不同数学家那里看到的那些不同选择，究竟只是冰山一角，还是已经接近了全部可能性。如果一种智慧生命的思考方式、与宇宙互动的方式都和我们完全不同，他们会走出多远的分岔？ ## 他最讨厌的记号，是 e 的 x 次方 聊到记号（notation），Grant 说这东西的重要性被严重低估了。大家都以为它只是外衣，实际上它会反过来塑造你怎么想问题。 他举了自己最不喜欢的一个：把指数函数写成 e 的 x 次方。这个写法暗示你先有一个叫 e 的常数，然后把它反复自乘。对整数指数来说这没问题，对分数指数就开始含糊，到了 e 的 πi 次方，你得把这套“反复相乘”的思路硬掰到复数上去。Grant 的原话是，这相当于把一个人的胳膊扭到背后按在桌上，然后命令它去处理复数。教学上毫无帮助。 > 如果你真的去拆解 e 的 πi 次方，它说的是：选一个原点，始终垂直于从原点到你的那个向量移动，走 π 倍半径的距离，你就到了对面的半圈。就这么回事。（格兰特·桑德森） 这句话值得再读一遍。它描述的其实是一个运动过程：速度方向始终垂直于位置向量，你就会绕圈走。这是复数指数运算真正想捕捉的现象。可“反复乘以一个常数”这个框架根本装不下它，因为这里的操作是 90 度的转动，跟缩放完全是两码事。 Grant 说，为了把 e 的 πi 次方硬塞进“重复乘法”的解释框架，不知道浪费了多少聪明人的时间，包括科学家、电气工程师和全世界的学生。如果一开始就用微分方程来引入这个函数，很多困惑本可以避免。 他还补了一个自己都觉得好笑的观察：e 这个常数，是微积分的数值代言人，而微积分研究的是变化。**用一个常数去代表“变化之学”，本身就带着认知上的别扭。**他说自己从没这么想过，听完觉得挺有道理。 ## 欧拉公式被神话了，它只是把三个丑记号捆在一起 顺着这条线，Lex 问出了那个著名的问题：欧拉公式被称为数学中最美的等式，你怎么看？ Grant 的反应是：美是美的，但没有那么神。它之所以显得神秘，是因为记号太糟糕。 他拆了三处：第一，用了 e，而 e 是从人口增长、复利这些“自我强化的增长”场景里长出来的，把它塞进旋转的语境，位置很尴尬。第二，用了 π 而不是 τ，关于这件事他已经专门做过视频。第三，把虚数单位叫作“imaginary”，光这个名字就让无数人以为它不真实。 三个容易制造混乱的记号，全部挤在一个等式里，然后大家惊叹于它有多美。Grant 的说法是，剥掉记号这层皮，剩下的东西确实漂亮：如果你取一个 90 度旋转的线性操作，再对它做某种指数化，你得到的是所有其他角度的旋转。翻译成人话就是，速度垂直于位置，你就走圆。这挺美，但算不上宇宙间最震撼的事。 他把 e 和 π 的关系形容成几个孩子被塞进同一张床：它们确实有亲缘关系，但没那么亲，如果让它们自己选，会想分开睡。真正的结构是这样：有一个核心函数叫 exp，往实方向走，你碰到常数 e；往虚方向走，它呈现周期性，周期是 τ。**两个常数来自同一个函数的两个正交方向，它们的关系被那个等式夸大了。** Grant 说他对这个公式已经“过了约会期”。他做过三个关于它的视频，还打算再做至少一个。但那种心跳加速的感觉没有了，现在他看它像一个刚睡醒、头发乱糟糟、眼下有黑眼圈的人。 ## 数学是发明的还是发现的：一个循环 回到外星人那个问题。Lex 把话头引到了那个老问题上：数学是被发现的，还是被发明的？ Grant 的答案是一个循环。你先从宇宙里发现一些东西，这些发现告诉了你哪一套数学会有用；数学本身在某种意义上是发明出来的，但在所有可能的数学里，是那些关于世界的发现替你做了筛选。 他拿勾股定理举例。看那些用正方形拼来拼去的几何证明，感觉像是发现。但如果你看我们怎么把二维空间形式化成 R²（所有实数对的集合），怎么在上面定义度量、定义距离，你会发现一件尴尬的事：**我们是先定义了一个让勾股定理成立的距离，然后再说勾股定理成立。**这么一看，那股发现的神圣感就淡了。 但 Grant 说，告诉我们该在 R² 上放哪个度量的，是物理观察。你完全可以给 R² 定义别的度量，那套数学同样自洽，只是它不描述我们生活的这个世界，因为在那个世界里勾股定理不成立。 所以顺序是这样：先有一个货真价实的发现，这个发现启发了我们发明一套抽象表示；然后你开始单独研究这套抽象表示，它自己会长出新问题、新发明、新谜团；这些谜团又可能带来新发现，新发现再告诉你该发明什么。**数学在发明和发现之间来回切换角色，从来没法二选一。** ## 三类数学家，和一个说“数学是物理分支”的人 Lex 接着搬出了费曼式的问题：物理和数学的区别在哪？ Grant 先给了一个定义：数学研究的是抽象之上的模式，以及逻辑里的纯模式；物理则明确以理解我们所在的世界为目标。但他随即说，这个问题你去问十个数学家，会得到十个答案，因为数学家本身分好几类。 第一类是被纯谜题吸引的人，他们喜欢组合数学，享受搭建一套解题工具、然后用在纯模式上的过程。第二类是物理驱动的，他们主动去那些已知会和物理或计算机科学发生关系的方向上找问题，混沌理论就是个典型，它的表述完全是纯数学的，但动机大量来自物理应用。第三类人热爱抽象本身，喜欢把东西越抽越高，追求那种“能描述尽可能多事物”的力量感，拓扑学最早是他们搞出来的，后来他们又一头扎进范畴论，聊起无穷范畴来能聊很久。 这三类人对“数学和物理什么关系”的回答会完全不同。Grant 特别提到了 Vladimir Arnold（弗拉基米尔·阿诺德），写了很多微分方程方面好书的那位，他的说法是：数学是物理的一个分支。当然，他本人研究的正是偏微分方程这类东西，动机来源就在那儿。 反过来，那些不太考虑物理的范畴论学者会觉得，抽象本身有力量，一般性就是价值，这套东西恰好能用来理解世界，是个令人愉快的巧合。 ## 为什么宇宙的规律可以被写成方程 Lex 追问了一个更深的问题：为什么夸克的基本规律可以被压缩成那么干净的方程？这些方程比它们本来可以有的样子简单得多。 Grant 说他不知道，但可以给几个猜测。 第一个是筛选效应。物理学家觉得有意思的，本来就是那些简单到能用数学描述的东西。一旦系统复杂到一定程度，它就被划到生物学或者别的领域去了。这更像是学科分工的结果，宇宙未必在配合我们。 第二个是从信息论的角度看，你总能把一个东西洗掉不重要的部分，最后剩下信息量最低的那个核心组件。 第三个是他自己也拿不准的地方：他很难想象“本质上复杂的定律”到底是什么意思。一组彼此无法解耦的方程？一个规则到处都不一样、彻底分布式的世界？ Lex 补充说，我们几乎把“物理定律处处相同”当成了理所当然，但另一种可能是，这个世界的运行规则在每个地方都不一样，那方程就无从写起了。 Grant 从这里拐到了人择原理上。他反问：一个定律不可压缩的宇宙，能允许出现会问这种问题的存在吗？也许宇宙本来就不可压缩，只是我们的大脑在进化中被塑造成了只能感知可压缩的那部分。Lex 提了乔姆斯基式的观点，说我们不过是猿类的后代，是一台很有限的生物计算机。 Grant 的回应很实在：但我们确实能造出飞船。**能飞起来这件事本身就是个概念验证，说明我们手上的定律没那么离谱。**你可以说模型被过度简化了，但基于这些模型去改造世界，世界确实按你预期的方式回应了。 ## 模拟宇宙，和一个被忽略的物理限制 话题转到了模拟假说。Grant 说他能接受这个想法的可能性，但他不接受那个流行的概率论证。 那个论证是这样：如果模拟是可能的，被模拟的世界迟早也会造出自己的模拟，于是有第二层、第三层，层层套娃。那么随便扔一支飞镖，扎中的大概率是某个模拟层，所以我们很可能生活在模拟里。 Grant 的反驳是，这个论证默认了信息处理能力没有上限。但物理本身就给了上限：单位面积能存储的信息量是有限的，超过某个临界点，那片区域会塌缩成黑洞。既然存储有物理极限，那么能套多少层就是个有限数。这时候问题就变成了：最高层宇宙拥有无限信息处理能力和拥有有限信息处理能力，哪个更可信？Grant 说他完全不知道怎么给这个问题赋概率分布。他觉得人们常常不自觉地给那个无限层级集合赋予了均匀先验，这有点像帕斯卡的赌注，给了一个不该那么低的先验。 让他真正在意的是另一件事：**信息是物理的，它有下限，也有上限。**我们直觉上会觉得技术总能变得更好，总能往一小块空间里塞进更多信息，但物理说不。这个事实本身就很值得琢磨。 ## 无穷大没那么可怕，可怕的是过度泛化 Lex 承认自己对无穷大在心理上不舒服，问 Grant 怎么看。 Grant 说他挺自在的，然后给了一个漂亮的解释。他先问：你觉得存在多少个由字母组成的“词”？ 你不需要真的把所有的词列出来。真正起作用的是那个性质：不管你列了多少个，在末尾加一个 a，你就得到了另一个可以想象的词。让无穷大成立的，就是这个“总能再加一个”的性质，你根本不必一次性把全体装进脑子。 接着他把“抽象”这个词重新定义了一遍。他说抽象不是玄学，也不是那种说不清道不明的东西。你每次稍微动一下脸，我视网膜上的像素信号就全变了，但我仍然有“这是 Lex”这个连贯的概念。这个能把无数种不同图像统一起来的东西，就是抽象。**它的本质是压缩，是从一堆具体情况里提取出共同属性，并且这个提取结果对变化有很强的抵抗力。** 所以在他看来，无穷大和“Lex 这个人的概念”是同一类东西，没有更多神秘色彩，也没有更少。他甚至说，如果不用“抽象”这个词，改用“一般”（general）会更容易理解，那么 Lex 描述的那种危险其实就是“过度泛化”：一个概念如果泛到对任何具体情况都不适用，那它就失去了价值。 Grant 承认自己读数学书时经常一头雾水，感觉“这太抽象了，我想要点具体的东西抓住”。他说频道的一大部分动机就是这股情绪：你花一个小时死磕两页纸，最后除了几个定义和一点自我挫败感，什么都没剩下。 ## 做视频必须选一个例子，这是它最大的优势 这引出了 Grant 关于可视化最核心的一个观点。 他主张，理解的过程走的是从具体往上的方向。教科书讲线性代数，第一节课就给你向量空间的定义，列出一堆公理，然后说从这些性质出发我们推导出后面的一切。Grant 认为这完全不符合人脑理解事物的方式。真正的方式是从你能触及的最低层开始：不要想向量空间，想一个具体的向量，就是一列数字；更具体一点，想一支画出来的箭头，它有明确的 x 分量和 y 分量。 而**视觉媒介强制你做出选择**。你在屏幕上画出来的那支箭头，是一个实实在在的箭头，不是一个“可以适用于任何事物的所谓向量”。你在代码里必须写清楚它的方向、它的长度。每一次选择，都是在展示一个具体例子；每一个具体例子，都在帮某个人往前走一步。 他顺带交代了自己写脚本时的通病：第一反应总是先讲那个抽象的、一般的、威力强大的定义，然后再补例子。每一次他都这么做，而每一次反过来做都更有效。 正确顺序是：先给一堆例子，让观众的大脑自己去做模式识别。脑子会感到它们之间有种相似性。等你再抛出定义或公式的时候，公式只是在为一个已经形成的直觉命名，而不是扔给观众一堆需要靠例子填充的高认知负荷符号，还得指望他们没在半路走神。 ## 最美的数学，来自一本儿童小书的最后一页 Lex 问：你见过最美的数学想法是什么？ Grant 说，最美的东西往往是你只理解了一点点、但远远没有全部理解的东西，那点残留的神秘感本身就是美的来源。 然后他讲了自己的启蒙时刻。小时候他看过一套很小的书，好像叫 Wooden Books 系列，左页一段极短的说明，右页一张图。在其中一本的最后一页，某个不起眼的角落，印着一个公式：左边是所有自然数的倒数的 s 次方之和，一路加到无穷；右边是所有素数构成的某个乘积。 > 任何一个受过点数学熏陶的小孩，大概都被灌输过素数有多混乱、多难捉摸，它们确实如此。然后你看到这个等式，一边是你能想象的最容易理解的东西，就是数数的那些数字；另一边是全体素数。那种感觉就是，等等，它们是这样联系起来的？（格兰特·桑德森） 这就是 Zeta 函数的欧拉乘积。Grant 后来才明白，这个等式本质上编码了算术基本定理：每个数都能唯一地分解成一组素数。而它更深的意义在于，你可以用另一组数来描述素数，那组数就是 Zeta 函数的非平凡零点。 他说自己对黎曼猜想这件事依然常常力不从心。但每次多懂一点，它就更美一点，而且永远留着足够多的谜，让它保持着那种美。 他描述学习路径时很具体：多读书，比如《普林斯顿数学指南》里那篇解析数论的文章，文章后面还有一堆参考文献，像一棵可以往上爬的树。同时尽量把东西可视化。他做那个 Zeta 函数的视频，起点就是编程时想看看某个东西长什么样，结果一看，被震住了，于是决定做一期视频。他还提到一个反复出现的信号：你会发现傅里叶变换的亲戚们到处冒头，那就说明值得专门花时间建立对傅里叶变换的深度直觉，哪怕那些文献里没明说。 关于美，他给了一个更精确的说法：这些模式完全不可预测，极其精巧，但你不会觉得人类在研究对象的选择上做过任何任意的决定。**你感觉自己是在和模式本身对话，或者说，在和自然本身对话。**任意的东西很难美，因为那就是“做作”这个词的意思。不任意，意味着背后有干净的抽象和直觉可以把握它。 这也是他相信外星文明会研究同样东西的理由：如果你真的遇到另一个智慧文明，他们大概也在研究 Zeta 函数的零点，或者某个明显等价的亲戚。 ## 一个关于拓扑的视频，和一个只要三分钟的冷知识 说到最喜欢的作品，Grant 提到了《Who Cares About Topology?》这期。 视频从一道至今未解的数学难题开始：内接正方形问题。随便画一条闭合曲线，问曲线上是否存在四个点能构成一个正方形。这问题完全没用，不回答任何物理问题，它的趣味就在于我们居然答不上来，而这个问题看起来如此自然。 把它削弱一点：能不能总能找到四个点构成矩形？这依然很难，但是可解的。解法路径要用到环面（甜甜圈那种带一个洞的曲面），要用到莫比乌斯带。 Grant 说他小时候学这些东西时的感受是：谁在乎啊？把一条纸带拧一下粘起来，得到一个只有一个面、一条边的形状，然后呢？这能帮我解什么题？我以为数学是用来解题的。所以这期视频想说明的正是，这些构造远不止手工课上的纸带游戏，它们在某类问题里会非常自然地冒出来，而且冒出来的方式很漂亮。 制作过程本身也有意思。这个拓扑论证非常抽象，而且是非构造性的。他当时用的是 macOS 自带的 Grapher 画三维曲面，必须额外做大量工作才能让那个曲面真的出现在屏幕上。但一旦画出来，他发现自己根本没法预料它长什么样。 > 看起来像悉尼歌剧院，或者弗兰克·盖里的某种设计。你知道它一定有点样子，你能说出它的一些性质，它和那条曲线相接，它的边界就是平面上那条曲线，整体都悬在平面之上。但在真正画出来之前，你完全不知道它会是什么样。看到的那一刻，单纯就是舒服。（格兰特·桑德森） 他说那种满足感来自一个事实：原论文的论证很美，但你不知道它长什么样，而“屏幕上必须出现一张图”这个强迫函数，逼他补上了原论文没有的那部分。 ## 那个说“这很烂”的声音，是他过去的自己 Lex 问他创作流程：选题、写叙事、配可视化，哪一段最煎熬。 Grant 说最痛苦的情况是，题目是你真想做的，但脚本结构怎么都想不出来。他有一期已经卡了两三个月。他觉得正确的处理方式是先放一边，去做那些脚本自然就流出来的题目。**因为叙事是不能硬磨的，你对它想得越多，就越难共情那个还没听懂的学生。** 于是 Lex 问了那个很有意思的问题：你脑子里那个评判者是谁？那个说“这很烂”或者“这个可以”的声音，是什么？ Grant 说，是他过去的自己。那是他唯一真正了解的人，你了解的其实只有自己的各个版本。所以他先取出那个还不懂这件事的自己，然后用新鲜的眼光去看一段脚本、一个画面：这东西有动机吗？讲得通吗？ 这个方法的副作用他也承认了。他做了四元数那期，真正想搞清楚的是：四元数在四维空间里到底在做什么？能不能看见？他找到了一种能让自己满意的解释方式，用三维可视化把四元数对四维球体做的事讲清楚了。他很满意，因为这正是过去的自己想要的。 但事后看，大多数想学四元数的人是机器人工程师或者图形程序员，他们想懂的是怎么用四元数描述三维旋转。需求和过去的他并不一样。**他不会把那期视频推荐给这类人**，会建议他们去看别的资源，除非某天他们突然想知道“等等，它们到底怎么在四维里起作用”，那时候再回来。 神经网络那期是另一个例子。同一个概念可以从物理、神经科学、机器人学、统计学等角度切入，每个角度都能做出一期好视频。他说自己关于欧拉公式已经做了三期，还会再做至少一期。 ## 如果永生，你会要吗 话题拐到了死亡上。Lex 说他觉得有限性是意义的关键：事情会结束，才让它有意义。他甚至举例，这个房间四十分钟后就关门，所以他更爱这个房间。 Grant 的回应很诚实：如果给他永生，他会要。他承认自己人生里只有很小一部分时间能意识到死亡这件事。可他大部分时间都很有动力去做东西、去和人相处、去体验爱。**这种动力是在死亡完全不在脑子里的时候产生的**，这有点奇怪。也许是因为他还年轻，也许那东西在潜意识里，也许他构建了一个幻觉，让自己可以通过享受当下绕开必死这件事。 Lex 半开玩笑地说，后者就是那种存在主义式的活法。Grant 说：如果拿枪指着头逼我答，我不觉得是那样。 中间有一段很好玩的交锋。Lex 说自己有点俄罗斯血统，所以偏忧郁，可能高估了苦难和死亡的价值，但这能写出更好的小说，因为你需要某种存在性的威胁来推动情节。Grant 说，只要你不永生，数学里永远有足够多的谜和乐趣，问题冒出来的速度远快于答案冒出来的速度。 Lex 一直在旁边推，Grant 最后说了一句可以直接拿去做签名的话： > 就因为你是在钓我，不代表我错了。（格兰特·桑德森） ## 怎么判断一个视频做完了 这个问题 Grant 说很简单。脚本要先写好，里面得有一个“啊哈”的时刻，最好整个脚本都围绕这个时刻展开。然后给每一句话配画面，配音，剪辑。有了脚本，终点就清楚了。动画过程中他会改措辞，偶尔也改结构，但那时候已经是个相当确定性的流程。 难的是判断脚本什么时候写完。解题类视频相对简单，你觉得一个原本不懂的人现在能懂了，就完了。像神经网络那种就麻烦得多，因为你有一堆切入角度。标准变成了：这个脚本提出了一个有意义的问题，并且回答了它。 ## 学数学最实际的一条建议：多做习题 Lex 问，对刚开始学数学的人，或者职业中途想重新捡起来的人，有什么建议。 Grant 说，你的本能会驱使你花更多时间看讲座、看书。你要强迫自己去做比本能愿意做的更多的题。专注的时间应该花在解具体问题上，而且要去找那些题目被精心编排过的资源。 他给了一个很具体的操作：先翻到一章后面的习题，快速扫一遍。大部分你现在看不懂，没关系。但总有几个你能看懂的，**那几个就是你现阶段最该想的题**。然后回头读一点正文，再回来看题。在真正动手做完几道题之前，不要认为这一章学完了。 然后他承认这有点虚伪，因为他自己发的视频几乎从来不配习题。他把自己定位成生态里的另一个环节，这等于承认：光看视频，学习只完成了一部分。 对完全零基础的人，他推荐 Khan Academy，题库足够大，可以从最基础的线性代数、微积分开始。另一个路径是学编程，让编程里的动机推着你往前走。他说自己认识很多原本不喜欢数学的人，是通过编程对数学开窍的。他承认这可能是因为他住在湾区，样本有偏，但他愿意赌这条路更普适。 关于“教是最好的学”，他提到听过一组数字：读过的记住 10%，听过的记住 20%，主动参与过的记住 70%，教过别人的记住 90%。他说这些数字可能没有严谨出处，但它们感觉很对。**如果换成教，学习效率可能比读高九倍，这个估计甚至可能还保守了。**所以去做点什么来教别人，或者主动试着把一件事讲清楚，对巩固知识的作用巨大。 ## 音乐、那本小书，和一句费曼的话 快结束时，Grant 提到音乐曾经在他生活里占很大比重。他说起一个真正开心的时刻：他和哥哥、一个朋友在滑雪场做了一场演出。观众要坐缆车上山顶，他们就在那儿演奏。下山的时候坐在缆车里，几个人又即兴玩了起来，弹着玩着，缆车翻过山脊，城市的灯火一下子铺在下面。 他说他不会把那一刻描述成“transformative”（有转换性的）。他说不清为什么，但那个画面就是冒出来了，跟身边的人关系不大，起作用的好像就是那件事本身，那种单纯的、很高兴的感觉。他说自己没办法给这个时刻一个更深的解释。 Lex 说，作为一个也做音乐的人，他很想看到音乐重新回到 Grant 的创作里。Grant 答应了，说 2020 年底之前一定做一个音乐视频，给自己留个长一点的窗口。他主修小提琴，吉他和钢琴也喜欢瞎玩。Lex 说自己也弹吉他和钢琴。 然后 Lex 引了 Paul Lockhart（保罗·洛克哈特）《一个数学家的叹息》（A Mathematician's Lament）开头那句话：首先要理解的是，数学是一门艺术。数学和音乐、绘画等其他艺术的区别在于，我们的文化不承认它是艺术。Lex 说他代表几百万人，包括他自己，谢谢 Grant 把数学的艺术性展示出来。 Grant 说：哇，谢谢你这么说。 ## 这场对话这场对话里，最值得带走的几件事 整场对话没有一句推销，Grant 也没有一次试图把数学说得比它本身更玄。恰恰相反，他花了大量时间在拆解那些被神化的东西：欧拉公式没那么美，e 的记号是历史的偶然，教科书从公理出发的讲法反认知，他自己的视频也不能让你真正学会数学。 把这些碎片拼起来，有一条主线很清楚：**数学的困难，很大一部分来自表达方式，数学本身倒没那么难。** 记号是表达，教科书的结构是表达，先讲定义再讲例子是表达。这些选择在历史上都有它的道理，e 之所以写成自乘，是因为人类第一次遇见它是在复利和人口增长里；线性代数之所以从公理开始，是因为那是整理知识最经济的方式。“整理知识最经济”和“让人理解”经常冲突，冲突的时候吃亏的永远是学习者。 Grant 做的事情，本质上是在纠正这个偏差。他每一次都往更具体的方向走，往能画出来、能算出来、能看见的方向走。这算不上把数学变简单，更像是把通往数学的路修平了一点。 另一条线是关于美。他说最美的东西往往是你只理解一半的东西，那点残留的神秘感就是美的来源。他对 Zeta 函数的形容是“我还在和她约会”，有那种高多巴胺的部分。他对欧拉公式的形容是“过了约会期，现在看她头发乱糟糟的，眼下有黑眼圈”。 两种关系都是真的，但只有前一种让人想拍视频。**他做视频的驱动力，可能更多来自“我好像摸到了一点，我想看看它到底是什么样子”，而非“我懂了，我讲给你听”。**那个拓扑视频就是最好的例子：他必须把曲面画出来才能知道它长什么样，而这个“必须画出来”的约束，反过来让他补上了原论文没有的东西。 还有一条，关于学习。他说的那句话很朴素：你的本能会让你多看、多听，你要强迫自己多做。看讲座和读教科书的舒适感是真实的，学习却不在那里发生。学习发生的时候，你正盯着一道做不出来的题，不知道下一步该干什么。 最后，那个“教是最好的学”的说法，即便那组百分比是编的，逻辑也站得住。**被动接收是线性的，主动输出是指数的。**你试着把一件事讲清楚，讲到别人能听懂，你会清楚看到自己在哪一步其实是虚的。 ## 如果你想把数学重新捡起来 - 拿到一本教材，先翻到章节末尾的习题快速扫一遍，挑出那几道你现在能看懂题意的。它们就是你的起点，不用等读完正文。 - 给自己定一条硬规矩：每读完一节，必须动手做完至少两道题。做不出来也算做完，但要在纸上留下你尝试的痕迹。 - 如果你本来会编程，从编程的角度切入数学。实现一次向量旋转、写一遍矩阵乘法、把傅里叶变换跑起来看到频谱，比读十页定义管用。 - 遇到一个概念，先自己找一个最小的具体例子：一个具体的函数、一组具体的数字、一支画出来的箭头。抽象定义留到你有直觉之后再回来看。 - 试着把这个概念讲给别人听，或者写下来。讲的过程中卡住的地方，就是你真正没懂的地方，回去补那一块。 - 对“最美公式”这类说法保持一点怀疑。任何一个让你觉得神秘的东西，先问一句：会不会是表达方式的问题？换成另一种写法，它是不是就变得平淡了？ - 给自己留一点没弄懂的东西。不必把每个谜都解开，留着它，你才有动力继续往那儿走。